INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Tahukah teman-teman bahwa selain integral fungsi aljabar, integral juga dapat dioperasikan pada suatu fungsi yang lain loh, yaitu fungsi trigonometri. Apa yang dimaksud dengan Integral Fungsi Trigonometri? Integral Fungsi trigonometri adalah kebalikan dari turunan trigonometri yang dimana integral tersebut memuat fungsi trigonometri. Sebelum membahas lebih jauh, perlu untuk diketahui rumus-rumus apa saja sih yang menjadi rumus dasar dalam integral fungsi trigonometri ini.

RUMUS DASAR INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

1. $\int sin x dx = -cos x + C$

2. $\int cos x dx = sin x + C$

3. $\int tan x dx = ln \left|sec x \right|+C = -ln \left|cos x \right|+ C$

4. $\int cot x dx = -ln \left|csc x \right|+C = ln \left|sin x \right|+ C$

5. $\int sec x dx = ln \left|sec x + tan x\right| + C$

6. $\int csc x dx = ln \left|csc x - cot x\right| + C$

BEBERAPA KASUS DALAM MENENTUKAN INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

KASUS 1

$\int sin ^{m} x dx$

dan $\int cos ^{m} x dx$

>> Jika m bulat posistif dan ganjil maka gunakan kesamaan identitas $sin^{2}x +cos^{2}x =1$

Contoh:

$\int sin ^{3} x dx$

Penyelesaian:

$\int sin ^{3} x dx = \int sin^{\left ( 3-1 \right )+1}x d x$

$= \int sin^{2 }x sin x dx$

$= \int (1-cos^{2}x)d (-cos x)$

$= \int 1d(-cos^{}x)d +cos^{2} d (cos x)$

$= -cosx + \frac{1}{3}cos^{3}x+C$

>> Jika m bulat positif dan genap maka gunakan kesamaan identitas

$sin ^{2}x = \frac{1-cos 2x}{2}$

atau $cos^{2}x = \frac{1+cos2x}{2}$

Contoh:

$\int sin^{2}x dx$

Penyelesaian:

$\int sin^{2}x dx = \int \frac{1-cos2x}{2}dx$

$=\int\frac{1}{2}dx - \int \frac{1}{2}cos 2x dx$

$= \frac{x}{2}- \frac{sin 2x}{4}+C$

KASUS 2

>> Jika m atau n adalah bilangan bulat positif dan ganjil, maka gunakan kesamaan identitas $sin^{2}x + cos^{2}x = 1$

Contoh:

$\int sin ^{3}x cos^{3}xdx$

Penyelesaian:

$\int sin ^{3}x cos^{3}xdx = \int sin^{3}x-cos^{2}x.cos x dx$

$=\int sin^{3}x (1-sin^{2}x) d \left ( sin x \right )$

$=\int sin^{3}x - sin^{5}x d \left ( sin x \right )$

$= \int sin ^{3}x d \left ( sin x \right )-\int sin^{5}x d \left ( sin x \right )$

$= \int \frac{1}{3+1} sin ^{3+1}-\frac{1}{5+1} sin ^{5+1} x + C$

$= \frac{1}{4}sin^{4}x - \frac{1}{6}sin^{6}x + C$

>> Jika kedua pangkatnya m dan n bilangan genap, untuk menyelesaikannya gunakan persamaan

$sin^{2}x= \frac{1-cos2x}{2}$

atau $cos^{2}x= \frac{1+cos2x}{2}$

KASUS 3

>> Faktorkan tan x kemudian gunakan identitas $tan^{2}x = sec^{2}x-1$

>> Faktorkan cot x kemudian gunakan identitas $cot^{2}x = csc^{2}x-1$

Contoh:

$\int tan ^{3}x dx$

Penyelesaian:

$\int tan ^{3}x dx = \int tan^{2}x . tan x dx$

$= \int \left ( sec^{2} x-1 \right )tan x dx$

$= \int sec^{2}x tan x dx - \int tan x dx$

$= \int tan x sec^{2}x dx - ln \left|sec x \right|+C$

$= \int tan x d \left ( tan x \right )- ln \left|sec x \right|+C$

$= \int \frac{1}{2}tan^{2}x - ln \left| sec x \right|+ C$

KASUS 4

>> Jika pangkat adalah bilangan genap makan gunakan kesamaan $1+ tan^{2}x = sec^{2}x$ atau $1+ cot^{2}x = csc^{2}x$

jika kedua pangkat bukan bilangan genap, maka ubahlah salah satu ke dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap misal:

$\int tan^{3}x dx = \int tan^{2}x tan x dx$