NOTASI SIGMA

NOTASI SIGMA merupakan sebuah lambang yang digunakan untuk mempermudah penulisan, yaitu tentang penjumlahan dari sebuah fungsi yang ada. Lambang notasi sigma adalah $\sum$ lambang tersebut merupakan huruf yunani "sum" yang artinya penjumlahan.

PENULISAN SIGMA

Perhatikan jumlah:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+ ... +100^{2}$ dapat ditulis dengan $\sum_{i=1}^{100} i^{2}$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ dapat ditulis dengan $\sum_{i=1}^{n} ai$

Notasi sigma $\sum$ yang berpadanan dengan huruf kapital S menyarankan untuk menjumlahkan semua bilangn berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah dan berakhir dengan bilangan yang di atas tersebut.

Sehingga:

$\sum_{i=2}^{5}bi = b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$

$\sum_{j=i}^{n}\frac{1}{j} = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+... +\frac{1}{n}$

$\sum_{j=i}^{n}\frac{k}{k^{2}+1} = \frac{1}{2^{2}+1}+\frac{1}{3^{2}+1}+\frac{1}{4^{2}+1}$

$untuk n\geq m,\sum_{i=m}^{n} F(i)= F(m)+ F (m+1)+F(m+2)+...+F(n)$

Jika semua c dalam $\sum_{i=1}^{n} ci$ mempunyai nilai sama, katakan c, maka

$\sum_{i=1}^{n} ci = c+c+c+...+c=nc$

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

$\sum_{i=1}^{n} ci = nc$

Khususnya,

$\sum_{i=1}^{5}2 = 5(2)=10$

$\sum_{i=1}^{100}(-4) = 100(-4)= -400$

$\sum_{j=0}^{2}x^{3} = x^{3}+x^{3}+x^{3}$

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

$\sum_{k=1}^{5}2k = 2+4+6+8+10$

$\sum_{k=0}^{4}(2k+2) = 2+4+6+8+10$

$\sum_{k=2}^{6}(2k-2) = 2+4+6+8+10$

PERUBAHAN INDEKS JUMLAH

Mengganti indeks jumlah dengan indeks lainnya

contoh:

Nyatakan $\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}$ dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian:

Misalkan indeks baru adalah j, maka

j = k - 3

sehingga jika k = 3, maka j = 0, dan jika k = 7, maka j = 4. jadi j bergerak dari j = 0 sampai j = 4. Sehingga,

$\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} = \sum_{5^{(j+3)-2}}^{4} = \sum_{j=0}^{4}5^{j+1}$

Dapat dicek bahwa $\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}$ dan $\sum_{j=0}^{4}5^{j+1}$ adalah $5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}$

SIFAT-SIFAT $\sum$ dianggap sebagai operator, $\sum$ beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear.

Kelinearan $\sum$

Misalkan $\left ( a_{i} \right )dan (b_{i})$ menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta.

Maka:

$(i) \sum_{i=1}^{n} ca_{i} = c \sum_{i=1}^{n} a_{i}$

$(ii) \sum_{i=1}^{n} \left ( a_{i}+b_{i} \right ) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}+ \sum_{i=2}^{n} b_{i}$

$(iii) \sum_{i=1}^{n} \left ( a_{i}-b_{i} \right ) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}- \sum_{i=2}^{n} b_{i}$

Contoh

1. Misalkan $\sum_{i=1}^{100} a_{i}= 60 dan \sum_{i=1}^{100} 11.$ Hitung $\sum_{i=1}^{100} \left ( 2a_{i}-3b_{i}+4 \right )$

Penyelesaian:

$\sum_{i=1}^{100} \left ( 2a_{i}-3b_{i}+4 \right ) = \sum_{i=1}^{100}2a_{i}- \sum_{i=1}^{100}3b_{i}+ \sum_{i=1}^{100}4$

$= 2\sum_{i=1}^{100}a_{i}- 3 \sum_{i=1}^{100}b_{i}+\sum_{i=1}^{100}4$

= 2 (60) - 3 (11) + 100 (4) = 487

$2. Sederhanakan \sum_{i=1}^{100} \left ( a_{i} - a_{i-1}\right )$

Penyelesaian:

$\sum_{i=1}^{100} \left ( a_{i} - a_{i-1}\right )= (a_{1}-a_{0})+ (a_{2}-a_{1})+ ... + (a_{n}-a_{n-1})= -a_{0}+a_{1}-a_{1}+a_{2}+ ... + a_{n-1}-a_{n-1}+a_{n} = -a_{b}+a_{n}+a_{n}-a_{0}$

BEBERAPA JUMLAH KASUS

Meninjau jummlah dari n bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-n, deret-deret tersebut dintaranya adalah:

Contoh

$1. Hitung \sum_{k=1}^{30} k (k+1)$

Penyelesaian:

$\sum_{k=1}^{30} k (k+1) = \sum_{k=1}^{30} (k^{2}+1)= \sum_{k=1}^{30} k^{2}=\sum_{k=1}^{30}k$

$= \frac{30(31)(61)}{6}+\frac{30(31)}{2} = 9920$

Catatan

Dalam rumus

$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} atau 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ ... +n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

2. Eskpresikan $\sum_{k=1}^{n} (3+k)^{2}$ dalam bentuk tertutup