INTEGRAL TAK WAJAR

Apa yang dimaksud Integral Tak Wajar? Integral tak wajar merupakan semua integral yang tidak dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus.

Integral tak wajar dikatakan, jika:

1. Integran diskontinu

2. Batas tak hingga

Mari kita bahas satu persatu.

1. INTEGRAL TAK WAJAR DENGAN INTEGRAN DISKONTINU

a. f (x) kontinu di (a,b) dan tidak kontinu di x =b

Karena f (x) tidak kontinu

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi

integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di $x =b \varepsilon (\varepsilon \to 0^{+} )$ , sehingga

$\int_{a}^{b} f (x) dx = \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{a}^{b} f (x) dx$

Karena batas $x = b -\varepsilon (x\to b^{-})$ maka

$\int_{a}^{b} f (x) dx = \displaystyle \lim_{ t\to b^{-}}\int_{a}^{t} f (x) dx$

Contoh

$\int_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{4-x}} = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+}}\int_{0}^{4-\varepsilon } \frac{dx}{\sqrt{4-x}}$

$= -2 \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\left ( \sqrt{4-(4-\varepsilon )} \right )-\sqrt{4-(0)} = -2 \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\left ( \sqrt{\varepsilon }-\sqrt{4 = -2(0-2)} \right )= 4$

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral

tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di $x = a +\varepsilon (\varepsilon \to 0^{+})$ maka $\int_{a}^{b} f (x) dx = \displaystyle \lim_{ \varepsilon \to 0^{+}}\int_{a+\varepsilon }^{b} f (x) dx$

karena batas bawah

$x = a + \varepsilon (x\to a^{-})maka \int_{a}^{b} f (x) dx = \displaystyle \lim_{ t\to a^{+}}\int_{t}^{b} f (x) dx$

contoh

$\int_{3}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x-3}} = \displaystyle \lim_{t \to 3^{t}}\int_{3}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x-3}}= \lim_{t \to 3^{t}} \left [ 6 \sqrt{4-3}- 6\sqrt{t-3} \right ]= 6 (1)- 6(0)= 6$

c. f(x) kontinu di [a,c)  (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral

tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di $x = c +\varepsilon dan x = c -\varepsilon$
sehingga

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \displaystyle \int_{a}^{c} f (x) dx + \int_{c}^{b} f (x) dx$

$= \displaystyle \lim_{c \to 0^{+}} \displaystyle \int_{a}^{c-\varepsilon } f (x) dx + \lim_{c \to 0^{+}} \int_{c+\varepsilon }^{b} f (x) dx$

Atau

$\int_{a}^{b} f(x)dx= \displaystyle \lim_{t \to b^{-}} \displaystyle \int_{a}^{t } f (x) dx + \lim_{t \to a} \int_{t }^{b} f (x) dx$

Contoh

$\int_{-1}^{8} x^{-\frac {1}{3}}dx, f (x)$

, tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh

$\int_{-1}^{0} x^{-\frac {1}{3}}dx + \int_{0}^{8} x^{-\frac {1}{3}}dx = \displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{-1}^{0-\varepsilon }x^{-\frac {1}{3}}dx + \lim_{\varepsilon \to 0^{+}}\int_{0+\varepsilon }^{8 }x^{-\frac {1}{3}}dx$

$= \displaystyle \lim_{ \varepsilon \to 0^{+}}\left [ \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}} \right ]_{-1}^{0-\varepsilon }+ \displaystyle \lim_{ \varepsilon \to 0^{+}}\left [ \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}} \right ]_{0+\varepsilon }^{8 }$

$= -\frac{3}{2}+6 = \frac{9}{2}$

2. INTEGRAL TAK WAJAR DENGAN BATAS TAK HINGGA

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas $x =\infty$

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

$\int_{a}^{\infty }f (x)dx = \displaystyle \lim_{t \to \infty }\int_{a}^{t}f(x)dx$

contoh

$\int_{a}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}= \displaystyle \lim_{t \to \infty }\int_{1}^{t}\frac{dx}{x^{2}}= \lim_{t \to \infty }\left [ -\frac{1}{x} \right ]_{1}^{t }= \lim_{t \to \infty }\left [ -\frac{1}{t}+1 \right ]_{1}^{t}=1$

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - $\infty$

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

$\int_{-\infty }^{0} f(x) dx = \displaystyle \lim_{t \to \infty }\displaystyle \int_{t}^{a} f (x) dx$