INTEGRAL TENTU (BAGIAN 2)

TEOREMA DASAR KALKULUS

Andaikan f fungsi kontinu pada selang (a,b) dan andaikan F fungsi teorema yang mendasari anti turunan dari f, maka:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F (b)- F(a)$

Bukti:

Karena f kontinu pada selang (a,b), maka terintegralkan , andaikan P : a = $x_{1}< x_{2}< x_{3}< ... x_{n-1}< x_{n} = b$ adalah partisi sebarang pada selang (a,b). Denngan membuat jumlahan yang saling menghapuskan.

$F(b)-F(a)=(F(X_{n})- F (X_{n-1}))+ (F(X_{n-1})- F (X_{n-2}))+ ...+(F(X_{1})- F (X_{0}))$

$F(b)-F(a)= \sum_{i=1}^{n} (F(x_{i})- F(x_{i-1}))$

Dengan teorema ini rata-rata untuk turunan, maka terdapat $x_{i}$ pada selang bagian $\left [x_{i}, x_{i-1} \right ]$
sedemikian hingga berlaku

$F (x_{i})- F (x_{i-1}) = F (x_{i}) (x_{i}-x_{i-1})$

$= F (x_{i}) \Delta (x_{i})$

Sehingga,

$F(b)-F (a)= \sum_{i=1}^{n} F (x_{i}) \Delta (x_{i})$

Karena ruas kiri berupa konstatnta, maka berlaku :

$F(b)-F (a)= \displaystyle \lim_{p \to 0} \sum_{i=0}^{n} F (x_{i}) \Delta x_{i}= \int_{a}^{b}f(x)dx$

CONTOH

$1. \int_{-1}^{2} x^{2}dx = \frac{1}{3}x^{3} ]_{-1}^{2} = \frac{1}{3}\left ( 2^{3}-\left ( -1 \right )^{3} \right ) = 3$

$2. \int_{0}^{\pi } sinx dx = -cos ]_{0}^{\pi } = - (cos \pi - cos 0 )= - (-1-1) = 2$

$^{}3. \int_{0}^{\frac{1}{4}\pi } sin ^{3} 2x cos 2 x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{4}\pi } sin ^{3} 2x cos 2 x d (sin 2x)$

$= \frac{1}{2}. \frac{sin^{4}2x}{4}|_{0}^{\frac{1}{4}\pi }$

$= \frac{1}{8}. (sin^{4}.\frac{1}{2}\pi -sin^{4}0)$

$= \frac{1}{8} (1-0) = \frac{1}{8}$

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh SIFAT PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU, yaitu:

Jika f kontinu pada selang (a,b) dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam (a,b), maka:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\int_{a}^{x}f(t)dt)= f(x)$

Keterangan:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} = \left ( \int_{a}^{x} f(t)dt\right )= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (F(t)) |_{a}^{x} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (F(x)- F(a)) = f(x)$ , sebab $F(a)$ adalah konstanta.

CONTOH

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\int_{0}^{x^{2}}(3t+1)dt)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left|\frac{3}{2}t+t \right|_{0}^{x^{2}}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left|\frac{3}{2}x^{4}+x^{2}\right|$

$= 6x^{3}+2x$

Dapat pula diselesaikan dengan aturan rantai sebagai berikut:

$D_{x} \left ( \int_{0}^{x^{2}}(3t+1)dt \right )= .....$

karena batas $x^{2}$ maka digunakan atuan rantai sehingga menjadi $\int_{0}^{u} (3t+t)dt$ dimana u = $x^{2}$ , dan turunan terhadap x dari fungsi bersusun ini adalah

$D_{u}\left ( \int_{0}^{u} (3t+t)dt \right ). D u = (3u+1)2x$

$= (3x^{2}+1).2x$

$= 6x^{3}+2x$

RUMUS-RUMUS INTEGRAL TENTU

CONTOH

$1. \int_{-1}^{2}6x^{2} dx =6 \int_{-1}^{2}x^{2} dx = 6.\frac{1}{3}x^{3}|_{-1}^{2} = 2 (2^{3}-(-1)^{3})=18$

$2.\int_{1}^{8} \left ( x^{\frac{1}{3} }+ x^{\frac{4}{3}} \right )dx= \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3} }dx+\int_{1}^{8} x^{\frac{4}{3} dx$

$= \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}|_{1}^{8}+\frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}|_{1}^{8}$

$= \frac{3}{4}(8^{\frac{4}{3}}-1^{\frac{4}{3}})+(8^{\frac{7}{3}}-1^{\frac{7}{3}})$

= 65,68

$3. \int_{-1}^{2}\left ( 6x^{2} - 4x \right )dx = \int_{-1}^{2}6x^{2} dx + \int_{-1}^{2}4x^{2}dx$

$= 2x^{3} |_{-1}^{2}-2x^{2}|_{-1}^{2}$

$= 2 (2^{3}-(-1)^{3}-2(2^{2}-(-1)^{2})=12$

TEOREMA SIMETRI, TEOREMA PERIODIK, DAN TEOREMA NILAI RATA-RATA

A.TEOREMA SIMETRI

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika f(-x) = f(x), dan ganjaail jika f(-x) = - f(x). Untuk fungsi yang demikian berlaku:

$(1.) 2 \int_{-a}^{a}f(x)dx = 2 \int_{0}^{a}f(x)dx$ , jika f fungsi genap,

$(2.) \int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$ , jika f fungsi ganjil

CONTOH

$\int_{-5}^{5} x^{5}/\left ( x^{2} +4 \right )dx=...$

$f (x) = x^{5}/(x^{2}+4)$

$f (-x) = (-x^{5})/((-x^{2})+4) = -x^{5}/(x^{2}+4)=-f(x)$

Karena, f(-x) = -f(x), maka f(x) = $-x^{5}/(x^{2}+4)$ adalah fungsi ganjil, sehingga

$\int_{-5}^{5}x^{5}/(x^{2}+4)dx=0$

B. TEOREMA PERIODIK

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga f(x+p) = f(x), untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan priode p, maka:

$\int_{a+p}^{b+p}f(x) dx = \int_{b}^{a} f(x) dx.$

CONTOH

$Hitunglah \int_{0}^{2\pi } \left|sin x \right|dx$

Jawab:

$Karena f(x) = \left|sin x \right|fungsi periodik dengan periode \pi , maka:$

$\int_{0 }^{2\pi }\left|sin x \right|dx = \int_{0 }^{\pi }\left|sin x \right|dx + \int_{\pi }^{2\pi }\left|sin x \right|dx$

$= \int_{0}^{\pi } \left| sin x \right|dx+ \int_{0+\pi }^{\pi+\pi } \left| sin x \right|dx$
$= \int_{0}^{\pi } \left| sin x \right|dx+ \int_{0 }^{\pi } \left| sin x \right|dx$