LUAS DAERAH BIDANG DATAR

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

- LUAS DAERAH BIDANG DATAR -

Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan

y = f (x) atau x = g( y) atau y = f (x), x = g(y) yang berbatasan dengan sumbu-sumbu

koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan y =f (x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu- atau luasan dengan persamaan x = g( y) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu-y.

Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan y = f (x) dan sumbu-sumbu koordinat

yang terletak di bawah sumbu- atau luasan dengan persamaan x =g( y) dan sumbu-sumbu

koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu-x. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat

terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya y2 = f x

dan y2 = g x . Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral

untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

R sebagaimana terlihat pada Gambar 3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva

y = f (x), x = a, x = b. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan

dengan

$A(R)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Jika luasan terletak di bawah sumbu- x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena

luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

$A(R)=\int_{a}^{b}-f(x)dx = \left|\int_{a}^{b}f(x)dx \right|$

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah

sebagai berikut :

a) Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya

dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu- atau sumbu- , selanjutnya irislah (bagi) luasan

dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang

terbentuk.

c) Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang.

d) Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.

CONTOH 1

Susunlah integral untuk daerah dibawah kurva $y = 1+\sqrt{x }$ di antara x = 0 dan x =4

3. Aproksimasikan lluas irisan khas

$\Delta A_{i}= (1+\sqrt{x_{i}})\Delta Ax_{i}$

4. Jumlahkan

$A\left ( R \right ) \approx \sum_{i=1}^{n}(1+\sqrt{x_{i}})\Delta Ax_{i}$

5. Ambil limit

$A\left ( R \right ) =\int_{0}^{4}(1+\sqrt{x_{i}})dx$

Begitu kita memahami prosedur lima langkah ini, kita dapat menyingkatnya menjadi tiga langkah: iris, aproksimasikan, integrasikan. Pikirkan kata integrasikan sebagai gabungan dua langkah: (1) jumlah luas irisan dan (2) ambil limit ketika lebar irisan menuju nol. Dalam proses ini Σ $... \Delta x$
berubah menjadi ∫ ... dx ketika kita mengambil limit. Gambar 5 memberikan bentuk yang diringkas untuk masalah yang sama.

CONTOH 2

Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B (3,0), C ( 3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

$\frac{y-y_{A}}{x-x_{A}}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}$

Diperoleh persamaan

$\frac{y-0}{x-0}=\frac{7-0}{3-0}$

$3y = 7x atau y =\frac{7}{3}x$

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan

$\Leftrightarrow \int_{0}^{3} \frac{7}{3}xdx = \frac{7}{6}x^{2} |_{0}^{3}= \frac{7}{6}. 9 = 10,5 satuan luas$

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

Luasan R pada Gambar 9 di atas dibatasi oleh kurva x = g(y), y = c, y = d, dan x = 0 .

Dengan integral tertentu luasan R yang berada disebelah kanan sumbu-x dinyatakan dalam

bentuk

$A\left ( R \right )=\int_{c}^{d}g (y)dy$

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu-x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan,

sehingga diperoleh:

$A\left ( R \right )=\int_{c}^{d}-g (y)dx = \left| \int_{c}^{d}g (y)dy\right|$

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah y = f (x) dan

y = g(x) dengan f (x) = g(x) pada selang (a,b). Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh

satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif.

Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu

kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

$\Delta A \approx (f(x)-g(x))\Delta x$

Sehingga luasan dinyatakan dengan:

$A\left ( R \right )=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu- x, jika luasannya disebelah kanan sumbu-y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

$A\left ( R \right )=\int_{c}^{d}(f(y)-g(y))dy$