INTEGRAL FUNGSI RASIONAL FAKTOR KUADRAT

Integral Fungsi Rasional Fungsi Kuadrat

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^{2}+qx+r'}$ , berdasarkan jumlah tersbut dapat ditentukan A, B, dan C

Contoh soal:

$1. \int\frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2+1})} dx$

Penyelesaian;

Karena integran fungsi rasional sejati maka

$\int \frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)} dx = \int \frac{A}{(4x+1)}+\frac{Bx+C}{(x^{2}+1)} dx$

$= \int \frac{A(x^{2}+1)+(Bx+C)(4x+1)}{(4x+1)(x^{2}+1)}dx$

$= \int \frac{(A+4B)x^{2}+(B+4C)x+(A+C)}{(4x+1)(x^{2})} dx$

Diperoleh

A + 4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

$\int \frac{6x^{2}-3x+1}{(4x+1)(x^{2}+1)} dx = \int \frac{2}{(4x+1) } + \frac{x-1}{(x^{2}+1)} dx$

$= \int \frac{2}{(4x+1)} dx + \int \frac{x}{(x^{2}-1)}dx - \int \frac{1}{(x^{2}-1)}dx$

$= \frac{2}{4}ln \left|4x+1 \right|+ \frac{1}{2}ln\left|x^{2}+1 \right|- arc tan x +C$

2. $\int \frac{x^{3}-4x}{x^{2}+1}dx$

Penyelesaian:

$\int \frac{x^{3}-4x}{x^{2}+1}dx = \int \left ( x-\frac{5x}{x^{2}+1} \right )dx$

$= \int x dx - \int \frac{5x}{x^{2}+1}dx$

$= \frac{1}{2}x^{2}- 5 \int \frac{x}{x^{2}+1}dx$

$= \frac{1}{2}x^{2} - 5\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^{2}+1} dx$

$= \frac{1}{2}x^{2} - \frac{5}{2} ln \left|x^{2}+1 \right|+C$

$= \frac{1}{2}x^{2} - ln \left|x^{2}+1^{\frac{}{}} \right|^{\frac{5}{2}}+C$

$= \frac{1}{2}x^{2} - \sqrt{(x^{2}+1)^{5}}+C$

Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x

Fungsi $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)\neq 0, f (x)dan g(x)$ memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jeis ini menggunakan metode subtitusi.

Beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau f(x) = cos x.

$1. F(x) = \frac{1-sin x}{cos x}$

$2. F(x) = \frac{1+sin x+cosx}{sin x}$

$3. F(x)= \frac{5sinx+2}{cos x}$

$4. F(x)= \frac{1}{1+sin x -cos x}$

$5. F(x)= \frac{2}{1+sin x -cos x}$

Sehingga dalam bentuk pengintegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

$1.\int \frac{dx}{1+sinx-cosx}$

$2. \int \frac{dx}{2+cos x}$

$3. \int \frac{dx}{1+sin x +cos x}$

$4. \int \frac{1+2sinx+cos x}{sinx}dx$

$5. \int \frac{1}{3-2sinx}dx$

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

𝑥 = 2 arc tan 𝑧 sehingga $dx = \frac{2}{1+z^{2}}dz$

Selanjutnya sin𝑥 dan cos𝑥 disubstitusi ke bentuk variabel z.

Karena 𝑥 = 2 arc tan 𝑧 maka:

$tan \left ( \frac{x}{2} \right ) = z$

Menurut rumus identitas trigonometri

$1+tan^{2} (\frac{x}{2}) = sec^{2} \left ( \frac{x}{2} \right )$

$1+z^{2}= sec^{2}\left ( \frac{x}{2} \right )$

$cos^{2}(\frac{x}{2})= \frac{1}{1+z^{2}}$

Menurut rumus identitas trigonometri yang lain

$sin^{2}x+cos^{2}x = 1$

$sin^{2}\left ( \frac{x}{2} \right )+cos^{2}\left ( \frac{x}{2} \right ) = 1$

$sin^{2} \left ( \frac{x}{2} \right )= 1-\frac{1}{1+z^{2}}$

$sin^{2} \left ( \frac{x}{2} \right )= \frac{z^{2}}{1+z^{2}}$

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

$cos 2x = = cos^{2}x-sin^{2}x$

$cos x = cos^{2}\left ( \frac{x}{2} \right )-sin^{2}\left ( \frac{x}{2} \right )$

$cos x = \frac{1}{1+z^{2}}-\frac{z^{2}}{1+z^{2}}$

$cos x = \frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}$

Dengan jumlah sinus didapat:

sin 2x = 2 sin x cos x

$sin x = 2 sin \left ( \frac{x}{2} \right )cos \left ( \frac{x}{2} \right )$

$sin x = 2 \sqrt{\frac{z^{2}}{1+z^{2}}}\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}$

$sin x = \frac{2z}{1+z^{2}}$

Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trgonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan subtitusi

$x = 2 arc tan z, sin x = \frac{2z}{1+z^{2}}, cos x = \frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}$

CONTOH SOAL

$1. \int \frac{dx}{1+sinx+cos x}$

Penyelesaian:

$\int \frac{dx}{1+sinx+cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+z^{2}}dz}{1+\frac{2z}{1+z^{2}}+\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

$= \int \frac{\frac{2dz}{1+z^{2}}}{\frac{1+z^{2}}{1+z^{2}}+\frac{2z}{1+z^{2}}+\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

$= \int \frac{2dz}{2+2z}$

$= \int \frac{dz}{1+z}$

$= ln \left|1+z \right|+C$

$= ln \left|1+tan\frac{x}{2} \right|+C$

$2. \int \frac{dx}{2-cos x}$

Penyelesaian:

$\int \frac{dx}{2-cos x} = \int \frac{\frac{2dz}{1+z^{2}}}{2-\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

$= \int \frac{\frac{2dz}{1+z^{2}}}{\frac{2(1-z^{2})}{1+z^{2}}-\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

$=\int \frac{2dz}{1+3z^{2}}$

$=\frac{2}{3}\int \frac{dz}{\frac{1}{\sqrt{3}}+z^{2}}$

$=\frac{2}{3}\sqrt{3} arc tan \left ( \frac{z}{1/\sqrt{3}} \right )+C$

$=\frac{2}{\sqrt{3}} arc tan \sqrt{3}z +C$

$=\frac{2}{\sqrt{3}} arc tan \sqrt{3}\left ( tan\frac{x}{2} \right ) +C$

Follow Us

Postingan Populer

Enjoy with math

Welcome to My Blog!