INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk $F(x)= \frac{f(x)}{g(x)'}$ dimana f(x), g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) tidak sama dengan nol. Fungsi pangkat banyak adalah suat fungsi yang dinyatakan dengan $f(x)= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{n}x^{n}, n = 1, 2, 3, ...,$ sehingga fungsi rasional adalah fungsi $\frac{f(x)}{g(x)}$ yang pembilang dan penyebutnya polinom.

contoh:

$1. F(x)= \frac{1-x}{x^{2}-3x+2}$ (Fungsi rasional sejati)

$2. F(x)= \frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}$ (Fungsi rasional tidak sejati)

Fungsi rasional sejati yaitu derajat pembilang lebih dari derajat penyebut.

Fungsi rasional tidak sejati yaitu derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui pross pembagian yang panjang akan diperoleh fungsi rasinal sejati. sehingga:

$F(x)= \frac{x^{5}-2x^{3}-x+1}{x^{3}+5x} = x^{2}-3+\frac{14x+1}{x^{3}+5x}$

$F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x)\neq 0$

LANGKAH MENENTUKAN INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional $F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. dalam hal nomor 2 diatas, g(x) dapat berupa kombinasi antara

- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a) (x-b) ... (x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, $g(x)=(x-a)^{n}$ = (x-a) (x-a) (x-a) ... (x-a)

- fungsi linear dan kuadrat, $g(x)= (x-a)(ax^{2}+bx+c)$

- fungsi kuadrat berbeda, $g(x) = (ax^{2}+bx+c)(px^{2}+qx+c)$

- fungsi kuadrat berulang, $g(x)= (ax^{2}+bx+c)^{n}$

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integral dapat ditentukan anti turunannya.

Misal:

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_{1}}{(ax_{1}+b_{1})}+ \frac{A_{2}}{(ax_{2}+b_{2})}+ ...$ (Penyebut kombinasi linear bebeda)

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_{1}}{(ax_{}+b_{})^{}}+ \frac{A_{2}}{(ax_{}+b_{})^{2}}+ \frac{A_{3}}{(ax_{}+b_{})^{3}}+ ...$ (Kombinasi linear berulang)

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}+ \frac{A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}+ ...$ (Kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebiih dahulu menentukan konstanta $A_{1}, A_{2}, A_{n} dan B_{1}, B_{2},... B_{n}$

CONTOH SOAL

$1. Tentukan \int \frac{2}{x^{2}-1}dx$

Penyelesaian:

Karena integran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran

$\int \frac{2}{x^{2}-1}dx = \int \frac{2}{(x-1)(x+1)}dx$

$= \int \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}dx$

$= \int \frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}dx$

$= \int \frac{(A+B)x + (A-B)}{(x-1)(x+1)}dx$

diperoleh A + B = 0, A - B = 2 atau A =1, B = -1 sehigga:

$\int \frac{2}{x^{2}-1} dx = \int \frac{1}{(x-1)}+ \frac{-1}{(x+1)}dx$

$= \int \frac{1}{(x-1)}dx - \int \frac{-1}{(x+1)}dx$

$= ln \left| x-1\right|- ln \left|x+1 \right|+C$

$= ln \left| \frac{x-1}{x+1}\right|+C$

$2. \int \frac{x+1}{x^{2}-4x+4}dx$

Penyelesaian:

$\int \frac{x+1}{x^{2}-4x+4}dx = \int \frac{x+1}{(x-2)(x-2)}dx$

$= \int \frac{x+1}{(x-2)^{2}}dx$

$= \int \frac{A}{(x-2)} + \frac{B}{(x-2)^{2}}dx$

$= \int \frac{A(x-2)+B}{(x-2)^{2}}dx$

$= \int \frac{Ax+ (B-2A)}{(x-2)^{2}}dx$

Sehingga diperoleh:

A = 1. B - 2A = 1 atau A = 1 dan B = 3, sehingga:

$\int \frac{x+1}{x^{2}-4x+4}dx = \int \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{(x-2)^{2}} dx$

$= \int \frac{1}{(x-2)}dx + \frac{3}{(x-2)^{2}} dx$

$= ln \left|x-2 \right| - \frac{3}{(x-2)}+C$

Follow Us

Postingan Populer

Enjoy with math

Welcome to My Blog!

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

Tidak ada komentar:

Murnianti

MATH

IS FUN