INTEGRAL TEKNIK PARSIAL - Murnianti

INTEGRAL TEKNIK PARSIAL

INTEGRAL PARSIAL digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x). Karena y = uv, maka menurut menurut definisi differensial dan turunan fungsi:

y = u , diperoleh:

dy = d (uv)

d (uv) = u dv = v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:

$\int d (uv)= \int udv + \int vdu$

$\rightarrow \int udv = \int d (uv)-\int vdu$

$\rightarrow \int udv = uv -\int vdu$

Bentuk yang terakhir ini merupakan rumus integral parsial

Prinsip yang digunakan dalalm integral parsial adalah integral yang berbentuk uv dimanipulasi menjadi u dc dan dalam menentukan udv tidak boleh memmunculkan

persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan $\int udv$ tersebut.

CONTOH SOAL

1. Tentukan hasil dari

$\int x cos x dx$

Penyelesaian:

Bentuk $\int x cos x dx$ diubah menjadi $\int udv$

Misal u = x , du = 1 dx

dv = cos x , v = $\int cos x dx$

= sin x

Akibatnya

$\int x cos x dx$ $= \int x d (sinx)$

Dengan rumus integral parsial:

$\int udv = uv - \int vdu$

$\int x d (sin x) = x sin x - \int sin x d (x)$

$= x sin x - \int sin x d x$

$= x sin x + cos x + C$

2. Tentukan hasil dari

$\int x \sqrt{1+x} dx$

Penyelesaian:

Bentuk $\int x \sqrt{1+x} dx$ diubah menjadi $\int udv$

misal u = x

du = dx

dv = $\sqrt{1+x}$

$v = \int \sqrt{1+x} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{1+x}$

Akibatnya

$\int x \sqrt{1+x} dx$ $= \int \sqrt{1+x} = \int xd (\frac{2}{3} \sqrt[3]{1+x})$

Dengan rumus integral parsial

$\int udv = uv - \int vdu$

diperoleh:

$\int x \sqrt{1+x} dx$ $= \int \sqrt{1+x} = \int xd (\frac{2}{3} \sqrt[3]{1+x})$

$= \frac{2x}{3}\sqrt[3]{1+x}- \int \frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x} d (x)$

$= \frac{2x}{3}\sqrt[3]{1+x}- \int \frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x} d x$

$= \frac{2x}{3}\sqrt[3]{1+x}- \int \frac{2}{4}\sqrt[3]{1+x} ^{4}$

3. Tentukan hasil dari

$\int t\sqrt{t+1}dt$

Penyelesaian:

Misal

u = t

du = dt

$dv = \int \sqrt{t+1}dt \rightarrow v = \sqrt{t+1} dt = \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{3}{2}}$

Dengan menggunakan rumus integral parsial

diperoleh:

$\int t \sqrt{t+1}dt = t. \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{3}{2}}- \int \frac{2}{3}(t+1)^{\frac{3}{2}} dt$

$= \frac{2}{3}t (t+1)^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{3}.\frac{5}{2}(t+1)^{\frac{5}{2}}+C$

$= \frac{2}{3}t (t+1)^{\frac{3}{2}}- \frac{4}{15}(t+1)^{\frac{5}{2}}+C$

Tidak ada komentar:

Langganan: Posting Komentar (Atom)